Suite et points alignés - Corrigé

Énoncé

On considère la suite de nombres complexes `(z_n)` définie sur `\mathbb{N}` par `z_n=\frac{5+4i}{(1+\sqrt{3}i)^n}` .

On se place dans le plan complexe d'origine \(\text O\) . Pour tout `n \in \mathbb{N}` , on note \(\text A_n\) le point d'affixe `z_n` .

Démontrer que, pour tout `n \in \mathbb{N}` , les points \(\text O , \text A_n\) et \(\text A_{n+6}\) sont alignés.

Solution

On a, pour tout  \(n\)  non nul, on a  \(z_{n} \neq z_0\)  et
\(\dfrac{z_{n+6} - z_0}{z_{n} - z_0}= \dfrac{z_{n+6}}{z_{n}}= \dfrac{5+4i}{\left( 1 + \sqrt{3} \right)^{n+6} } \times \dfrac{\left( 1 + \sqrt{3} \right)^{n} }{5+4i}= \dfrac{1}{\left( 1 + \sqrt{3} \right)^{6} } = \dfrac{1}{\left( 2 \text e^{i \frac{\pi}{6}} \right)^{6} }= \dfrac{1}{2^6 \text e^{i \pi}}= - \dfrac{1}{64}\)

Donc `\frac{z_{n+6} - z_0}{z_{n} - z_0} \in \mathbb{R}` donc   les points \(\text O , \text A_n\) et \(\text A_{n+6}\) sont alignés.