Suite et points alignés - Corrigé

Énoncé

On considère la suite de nombres complexes $(z_n)$ définie sur $\mathbb{N}$ par $z_n=\frac{5+4i}{(1+\sqrt{3}i{)}^n}$ .

On se place dans le plan complexe d'origine $\text{O}$ . Pour tout $n\in \mathbb{N}$ , on note ${\text{A}}_n$ le point d'affixe $z_n$ .

Démontrer que, pour tout $n\in \mathbb{N}$ , les points $\text{O},{\text{A}}_n$ et ${\text{A}}_{n+6}$ sont alignés.

Solution

On a, pour tout  $n$  non nul, on a  $z_n\ne z_0$  et
${\displaystyle \frac{z_{n+6}-z_0}{z_n-z_0}}={\displaystyle \frac{z_{n+6}}{z_n}}={\displaystyle \frac{5+4i}{{(1+\sqrt{3})}^{n+6}}}\times {\displaystyle \frac{{(1+\sqrt{3})}^n}{5+4i}}={\displaystyle \frac{1}{{(1+\sqrt{3})}^6}}={\displaystyle \frac{1}{{\left(2{\text{e}}^{i\frac{\pi }{6}}\right)}^6}}={\displaystyle \frac{1}{2^6{\text{e}}^{i\pi }}}=-{\displaystyle \frac{1}{64}}$

Donc $\frac{z_{n+6}-z_0}{z_n-z_0}\in \mathbb{R}$ donc   les points $\text{O},{\text{A}}_n$ et ${\text{A}}_{n+6}$ sont alignés.